15. 二叉搜索树BST

简介

树是类似于链表的数据结构，和链表的线性结构不同的是，树是具有层次结构的非线性的数据结构。

树是由很多个节点组成的，每个节点可以指向很多个节点。

如果一个树中的每个节点都只有0，1，2个子节点的话，这颗树就被称为二叉树，如果我们对二叉树进行一定的排序。

比如，对于二叉树中的每个节点，如果左子树节点的元素都小于根节点，而右子树的节点的元素都大于根节点，那么这样的树被叫做二叉搜索树（Binary Search Tree）简称BST。

今天我们来探讨一下BST的性质和对BST的基本操作。

BST的基本性质

刚刚我们已经讲过BST的基本特征了，现在我们再来总结一下：

BST中任意节点的左子树一定要比该节点的值要小
BST中任意节点的右子树一定要比该节点的值要大
BST中任意节点的左右子树一定要是一个BST。

看一张图直观的感受一下BST：

BST的构建

怎么用代码来构建一个BST呢？

首先，BST是由一个一个的节点Node组成的，Node节点除了保存节点的数据之外，还需要指向左右两个子节点，这样我们的BST完全可以由Node连接而成。

另外我们还需要一个root节点来表示BST的根节点。

相应的代码如下：

public class BinarySearchTree {

    //根节点
    Node root;

    class Node {
        int data;
        Node left;
        Node right;

        public Node(int data) {
            this.data = data;
            left = right = null;
        }
    }
}

BST的搜索

先看下BST的搜索，如果是上面的BST，我们想搜索32这个节点应该是什么样的步骤呢？

先上图：

搜索的基本步骤是：

从根节点41出发，比较根节点和搜索值的大小
如果搜索值小于节点值，那么递归搜索左侧树
如果搜索值大于节点值，那么递归搜索右侧树
如果节点匹配，则直接返回即可。

相应的java代码如下：

//搜索方法，默认从根节点搜索
    public Node search(int data){
        return search(root,data);
    }

    //递归搜索节点
    private Node search(Node node, int data)
    {
        // 如果节点匹配，则返回节点
        if (node==null || node.data==data)
            return node;

        // 节点数据大于要搜索的数据，则继续搜索左边节点
        if (node.data > data)
            return search(node.left, data);

        // 如果节点数据小于要搜素的数据，则继续搜索右边节点
        return search(node.right, data);
    }

BST的插入

搜索讲完了，我们再讲BST的插入。

先看一个动画：

上的例子中，我们向BST中插入两个节点30和55。

插入的逻辑是这样的：

从根节点出发，比较节点数据和要插入的数据
如果要插入的数据小于节点数据，则递归左子树插入
如果要插入的数据大于节点数据，则递归右子树插入
如果根节点为空，则插入当前数据作为根节点

相应的java代码如下：

// 插入新节点，从根节点开始插入
    public void insert(int data) {
        root = insert(root, data);
    }

    //递归插入新节点
    private Node insert(Node node, int data) {

        //如果节点为空，则创建新的节点
        if (node == null) {
            node = new Node(data);
            return node;
        }

        //节点不为空，则进行比较，从而递归进行左侧插入或者右侧插入
        if (data < node.data)
            node.left = insert(node.left, data);
        else if (data > node.data)
            node.right = insert(node.right, data);

        //返回插入后的节点
        return node;
    }

BST的删除

BST的删除要比插入复杂一点，因为插入总是插入到叶子节点，而删除可能删除的是非叶子节点。

我们先看一个删除叶子节点的例子：

上面的例子中，我们删除了30和55这两个节点。

可以看到，删除叶子节点是相对简单的，找到之后删除即可。

我们再来看一个比较复杂的例子，比如我们要删除65这个节点：

可以看到需要找到65这个节点的右子树中最小的那个，替换掉65这个节点即可（当然也可以找到左子树中最大的那个）。

所以删除逻辑是这样的：

从根节点开始，比较要删除节点和根节点的大小
如果要删除节点比根节点小，则递归删除左子树
如果要删除节点比根节点大，则递归删除右子树
如果节点匹配，又有两种情况
如果是单边节点，直接返回节点的另外一边
如果是双边节点，则先找出右边最小的值，作为根节点，然后将删除最小值过后的右边的节点，作为根节点的右节点

看下代码的实现：

 // 删除新节点，从根节点开始删除
    void delete(int data)
    {
        root = delete(root, data);
    }

    //递归删除节点
    Node delete(Node node, int data)
    {
        //如果节点为空，直接返回
        if (node == null)  return node;

        //遍历左右两边的节点
        if (data < node.data)
            node.left = delete(node.left, data);
        else if (data > root.data)
            node.right = delete(node.right, data);

        //如果节点匹配
        else
        {
            //如果是单边节点，直接返回其下面的节点
            if (node.left == null)
                return node.right;
            else if (node.right == null)
                return node.left;

            //如果是双边节点，则先找出右边最小的值，作为根节点，然后将删除最小值过后的右边的节点，作为根节点的右节点
            node.data = minValue(node.right);

            // 从右边删除最小的节点
            node.right = delete(node.right, node.data);
        }
        return node;
    }